Eenvoudig: het gemiddelde van een sinus is nul.

Vermogen is evenredig met de spanning in het kwadraat:

\ $ P = \ dfrac {V ^ 2} {R} \ $

dus om een ​​gemiddeld vermogen te krijgen bereken de gemiddelde spanning in het kwadraat. Dat is waar de RMS naar verwijst: Root Mean Square: neem de vierkantswortel van het gemiddelde (gemiddelde) van de vierkante spanning. Je moet de vierkantswortel nemen om de dimensie van een spanning opnieuw te krijgen, aangezien je deze eerst in het kwadraat hebt gezet.

Deze grafiek toont het verschil tussen de twee. De paarse curve is het kwadraat van de sinus, de gelige lijn de absolute waarde. De RMS-waarde is \ $ \ sqrt {2} / 2 \ $, of ongeveer 0,71, de gemiddelde waarde is \ $ 2 / \ pi \ $, of ongeveer 0,64, een verschil van 10%.

RMS geeft u de equivalente gelijkspanning voor hetzelfde vermogen. Als je de temperatuur van de weerstand zou meten als een maat voor de gedissipeerde energie, zul je zien dat dit hetzelfde is als voor een gelijkspanning van 0,71 V, niet 0,64 V.

bewerken Het meten van gemiddelde spanning is echter goedkoper dan het meten van RMS-spanning, en dat is wat goedkopere DMM's doen. Ze gaan ervan uit dat het signaal een sinusgolf is, meten het gelijkgerichte gemiddelde en vermenigvuldigen het resultaat met 1,11 (0,71 / 0,64) om de RMS-waarde te krijgen. Maar de factor 1,11 is alleen geldig voor sinusgolven. Voor andere signalen zal de verhouding anders zijn. Die verhouding kreeg een naam: het wordt de vormfactor van het signaal genoemd. Voor een PWM-signaal van 10% inschakelduur is de vormfactor \ $ 1 / \ sqrt {10} \ $, of ongeveer 0,316. Dat is veel minder dan de sinus van 1.11. DMM's die niet "True RMS" zijn, geven grote fouten voor niet-sinusvormige golfvormen.

Nu we het in termen van vergelijkingen hebben:

\ $ P_ {avg} = avg (P_ {inst}) \ $

Nu \ $ P_ {inst} = v ( t) \ cdot i (t) \ $ waar \ $ v (t) \ $ en \ $ i (t) \ $ zijn momentane spanning en stroom resp. Vandaar

\ $ P_ {inst} = \ dfrac {(v (t)) ^ 2} {R} \ $

\ $ P_ {avg} = avg (\ dfrac {((v (t)) ^ 2} {R}) \ $

\ $ P_ {avg} = \ dfrac {V_ {rms} ^ 2} {R} \ $

Als RMS = \ $ \ sqrt {\ text {gemiddelde van kwadraten van inst.}} \ $

Het waarom is simpel.

Je wilt 1 W = 1 W.

Stel je een primitieve verwarmer voor, een weerstand van 1 ohm.

Overweeg 1 VDC in een weerstand van 1 ohm. Het stroomverbruik is duidelijk 1 W. Als je dat een uur doet, verbrand je een wattuur, waarbij je warmte genereert.

Nu, in plaats van gelijkstroom, wil je wisselstroom naar de weerstand voeren en hetzelfde produceren warmte. Welke wisselspanning gebruikt u?

Het blijkt dat de RMS-spanning u het gewenste resultaat geeft.

DAT IS waarom RMS is gedefinieerd zoals het is, zodat de vermogenscijfers komen goed uit.

Omdat het vermogen gelijk is aan V ^ 2 / R, zodat u het gemiddelde van de kwadraatspanningen langs de sinusvormige golf berekent om V ^ 2avg te krijgen. Voor de eenvoud nemen we het gemiddelde van dit gemiddelde, dan kunnen we ermee omgaan zoals we willen.

Het antwoord is de reden gegeven door John R. Strohm en de uitleg is als volgt: (vereist een paar toevoegingen aan het antwoord van stevenvh)

Je ziet wanneer je een DC door een weerstand en een AC stuurt zwaai door een weerstand de weerstand wordt in beide gevallen opgewarmd, maar volgens de vergelijking voor de gemiddelde waarde zou het verwarmingseffect voor ac 0 moeten zijn, maar waarom is dit niet? Dit komt omdat wanneer de elektronen in een geleider bewegen, ze atomen raken en deze energie die aan de atomen wordt gegeven, bijgevolg als warmte wordt gevoeld, nu doet AC hetzelfde, alleen de elektronen bewegen in verschillende richtingen, maar de energieoverdracht is hier onafhankelijk van de richting en dus de geleider warmt toch op.

Wanneer we de gemiddelde waarde vinden, worden de wisselstroomcomponenten geannuleerd en kunnen ze daarom niet verklaren waarom de warmte wordt gegenereerd, maar de RMS-vergelijking corrigeert dat - zoals stevenvh zegt door het kwadraat en vervolgens de vierkantswortel te nemen, transponeren we het negatieve gedeelte naar de bovenkant van de as, zodat de positieve en negatieve gedeelten niet verdwijnen.

Daarom zeggen we dat het gemiddelde en de RMS-waarden van een DC-golf zijn hetzelfde.

Hetzelfde geldt voor elk echt signaal (hiermee bedoel ik imperfect - niet pure AC), aangezien de Fourier-serie zegt dat elke golf kan worden vervangen door een juiste combinatie van sinus- en cosinusgolven en aangezien de frequenties van de golven zijn hoger (gehele veelvouden van de basisfrequentie) ze worden ook geannuleerd, waardoor de DC-component wordt geïsoleerd.

Het bovenstaande is de reden dat we de RMS-waarde definiëren als de equivalente waarde van DC die dezelfde hoeveelheid genereert van warmte als de AC-golf.

Ik hoop dat dit helpt.

PS: ik weet dat de verklaring voor hoe warmte wordt gegenereerd nogal dubbelzinnig is, maar ik weet niet hoe ik een betere kan vinden, ik ging er toch mee mee omdat het helpt de boodschap over te brengen.

y (x) = | x |is niet differentieerbaar, omdat y '(0) niet gedefinieerd is.

y (x) = sqrt (x * x) is differentieerbaar.

Ze zijn echter anderszins gelijkwaardig.

Vrms = gemiddeld (abs (v (t))) = gemiddeld (sqrt (v (t) * v (t)))

Waarom kozen ze de ene definitie boven de andere?Welnu, de ene is een gemiddelde van een onderscheidbare functie.